Fórum 8 - Ensino da Geometria no século XXI

Caros alunos, chegamos ao último trecho da nossa caminhada pela TEG. Nas semanas anteriores, discutimos várias maneiras de interpretar o que é a aprendizagem significativa, o Modelo de van Hiele, materiais para um laboratório de educação matemática, o teorema de Pitágoras, poliedros de Platão e as Geometrias, Euclidiana, não-Euclidianas e a dos Movimentos das Figuras Rígidas. Agora, chegamos à Geometria dos nossos dias, no século XXI. Espero que gostem da forma como abordamos a Geometria Dinâmica e a do Táxi.

Fórum 8: (Valor 10 pontos)

Parte 1: (Valor: 3 pontos)

1a) (Valor: 1 ponto) Você já teve alguma experiência com a Geometria Dinâmica (GD)? Conhece algum outro software além daqueles relacionados no Texto 15 da Unidade 10? Traga a sua experiência para este fórum.

Durante a leitura do Texto 15 da Unidade 10, não conhecia o software Calques 3d, e pesquisando um pouco mais, achei o software muito interessante porque além de gratuito, disponível para download em https://www.calques3d.org/download.html, podemos explorar com muita facilidade a geometria dinâmica espacial. E conforme indicado no Texto, maiores informações podem ser obtidas em https://www.uff.br/calques3d/index.html. Durante a graduação, cheguei a trabalhar com o iGeom e o Cabri-Géomètre. Achei a experiência muito válida mas, não tive tempo o suficiente para o aprimoramento por causa do foco da disciplina.

No entanto, acredito que o grande desafio veio com a especialização pois, além de aprender a trabalhar com Régua e Compasso, aprendi a trabalhar com o Geogebra, Winplot e também o WinGeom, Poly e o Graphmatica, ambos gratuitos.

1b) (Valor: 2 pontos) Mesmo que você nunca tenha trabalhado com os recursos da GD, qual é sua opinião sobre o seu uso em sala de aula? Argumente em aproximadamente 100 palavras.

Para promover um ensino de Geometria, que conduza a criança ao entendimento das relações geométricas é indispensável que o professor ocasione atividades nas quais o aluno possa manipular e explorar materiais concretos, fazer construções e estabelecer relações. Dessa forma, os alunos devem recorrer a software de Geometria Dinâmica (GD), acessando livremente, sobretudo na realização de tarefas exploratórias e de investigação no intuito de construir, rever, modificar as suas construções geométricas e testar as suas ideias matemáticas e conjecturas e envolverem-se na sua própria aprendizagem permitindo a interação entre todos e deixando a matemática atrativa.

Acredito que as atividades utilizando estes softwares dão um certo trabalho para realizar, mas acho que são muito importantes, pois facilitam bastante a visualização e a aprendizagem significativa dos alunos.

Parte 2: (Valor: 7 pontos)

2a) (Valor: 2 pontos) Você conhecia a Geometria do Táxi? Você teve dificuldades para entender as atividades apresentadas na Unidade 10? Por que? Justifique, com cerca de 100 palavras.

No último semestre, realizei a disciplina Tópicos em Geometria e tive contanto com a Geometria do Táxi na última semana. Achei o assunto fascinante e ao ler as atividades apresentadas na Unidade 10, gostei muito das situações-problemas proposta e visualizei seu emprego nas diversas fases do desenvolvimento da aprendizagem, uma vez que o texto utiliza a linguagem do dia-a-dia, os materiais concretos são simples, o que permite o entendimento dos conceitos matemáticos propostos. É válido observar que a definição da distância entre dois pontos como sendo a medida do segmento de reta entre os dois pontos, ou seja, a medida do menor caminho entre eles considerada na Geometria Euclidiana é visto na Geometria do Táxi como a distância entre dois pontos tomada como a soma do valor absoluto da diferença de suas abscissas, com a do valor absoluto da diferença de suas ordenadas.

Referência Bibliográfica:

KALEFF, A . M.; NASCIMENTO; R. S. Atividades Introdutórias às Geometrias Não-Euclidianas: o exemplo da Geometria do Táxi. Boletim Gepem, Rio de Janeiro, no 44, dezembro 2004, 11-42. Disponível em https://www.uff.br/leg/publicacoes/01_04_artigopublicadoGT.pdf. Acesso em 12/09/2011.

2b) (Valor: 2 pontos) Depois da leitura do PSA "Se Descartes e Hilbert tivessem um Táxi: uma Incursão à Geometria do Táxi", você acharia razoável incluí-la no currículo do Ensino Médio? Comente brevemente, justificando a sua argumentação, com aproximadamente 150 palavras.

Conforme a tabela vista abaixo, visto que a faixa etária sugerida na Ficha Técnica das Atividades PSA "Se Descartes e Hilbert tivessem um Táxi: uma Incursão à Geometria do Táxi" apresentadas entre as páginas 205 e 210 da Unidade 10, gostaria de ressaltar a frase: "visualizei seu emprego nas diversas fases do desenvolvimento da aprendizagem" (sexta, 23 setembro 2011, 01:13) do item 2a (Faixa Etária - Atividades: Comentário )

_ Cerca de 7 anos - 1, Cerca de 9 anos – 2, 3, 4: Procurou enfatizar a construção do pensamento em volta da orientação espacial e direcional, como requisitos básicos à introdução de uma linguagem gráfica de orientação cartesiana, fornecendo assim, experiências, a serem utilizadas em uma faixa etária mais avançada

_ Cerca de 11 e 12 anos - 5, 6: São trabalhados aspectos relacionados à organização lógica e que visem ao desenvolvimento de níveis mais avançados do pensamento geométrico que possibilita o aluno a formar definições e estabelecer inter-relações das propriedades entre os conceitos construídos, colocando-o frente a dois desafios, os quais podem servir de veículo à avaliação dos conteúdos apresentados

_ Cerca de 15 anos - 7, 8, 9, 10, 11: Deu-se ênfase às diferentes formas gráficas com que os conceitos euclidianos se apresentam na nova geometria, por meio do estabelecimento de conjecturas sobre as novas formas gráficas obtidas para representar os conceitos em questão.

Baseado nisso, com certeza as atividades devem fazer parte do currículo do Ensino Médio pois, elas compartilham objetos de estudo e criam condições para que a prática escolar se desenvolva numa perspectiva de interdisciplinaridade, uma vez que o "ensino da Matemática deve estar voltado à formação do cidadão, o qual, sabidamente, utiliza cada vez mais os conceitos matemáticos em sua rotina" (BRASIL, 1998)

Referências Bibliográficas:

MEC - Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática - 5ª à 8ª Series. Brasília. 1998.

KALEFF, Ana Maria M. R. TÓPICOS EM ENSINO DE GEOMETRIA: a sala de aula frente ao laboratório de ensino e à História da Geometria. Rio de Janerio: UFF/CEDERJ/UAB. 2008.

KALEFF, Ana Maria M. R, HENRIQUES, Almir; REI, Dulce M.; FIGUEIREDO, Luiz G. Desenvolvimento do pensamento geométrico: Modelo de van Hiele. Bolema. Rio Claro, v.10, 1994, p.21-30

2c) (Valor: 3 pontos) Você acha razoável levar o aluno do Ensino Médio a perceber formas diferentes de desenho para uma definição, como foi apresentado para o caso da circunferência nesse PSA? Comente brevemente, justificando a sua argumentação frente à aprendizagem significativa, com aproximadamente 150 palavras.

O professor deve evitar determinadas situações caso o ele não consiga criar situações que levam o aluno a perceber outras formas diferentes de desenho para uma definição, uma vez que a figura geométrica da circunferência apresentadas na atividade 9 é formada por uma malha quadriculada formada inclinada em 45º. Em outras palavras, "a distância de um ponto a uma reta na Geometria do Táxi é encontrada, com mais facilidade, com o auxílio do conceito de circunferência desta Geometria. Também pode ter observado que esta distância difere da euclidiana quando a reta estiver inclinada e, mais ainda, se a reta fizer um ângulo de 45º com as ruas, a menor distância entre o ponto e esta reta não é única" (p. 201)

Assim, a partir de situações concretas e necessidades reais, propiciamos o aluno entender que o conhecimento matemático é construído historicamente e promovemos uma aprendizagem significativa e ao mesmo tempo alcançamos o nível de dedução informal do Modelo de van Hiele que possibilita o aluno a formar definições e estabelecer inter-relações das propriedades entre os conceitos construídos.

Referência Bibliográfica:

MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.

_ Gostaria que você comentasse sobre o valor de Pi na geometria euclidiana e na geometria do Taxi. Será que a diferença confundiria o aluno?

O valoré definido como a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro. Na geometria do Táxi, temos que círculo de raio r tem quatro lados, cada um de comprimento 2r, então o comprimento da circunferência vale 8r. Como o diâmetro vale 2r comprimento, então .

Para maiores informações, consulte o teoremada página 8, do documento "La geometria del taxi" disponível em https://www.mat.uab.es/matmat/PDFv2007/v2007n04.pdf. Embora esteja escrito em italiano, acredito que seja de grande valor aos colegas do curso

Quanto a diferença de valores donas geometrias apresentadas, não vejo motivo suficiente para confundir o aluno pois, o que importa mesmo é a forma com que é concebido o valor de. Como assim? Simples!é definido como a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro, isto é,.

Considerações Finais: Ana Kaleff

Esta semana tratamos um pouco sobre os novos recursos tecnológicos disponíveis para as nossas aulas e nos aprofundamos um pouco mais em um modelo de Geometria Não-Euclidiana.

Vimos como é importante tratarmos de conteúdos que possam dar aos nossos alunos e, até mesmo a nós professores, a possibilidade de remodelar a maneira de resolver problemas, bem como de trabalhar idéias, segundo regras diferentes às quais estamos habituados. Afinal, como mostrado na pg. 186, os PCN colocam que: “[...] fruto da criação e invenção humanas, a Matemática não evolui de forma linear e logicamente organizada. Desenvolve-se com movimentos de idas e vindas, com rupturas de paradigmas. Freqüentemente um conhecimento é amplamente utilizado na ciência ou na tecnologia antes de ser incorporado a um dos sistemas lógicos formais do corpo da Matemática. Exemplos desse fato podem ser encontrados no surgimento dos números negativos, irracionais e imaginários. Uma instância importante de mudança de paradigma ocorreu quando se superou a visão de uma única geometria do real, a Geometria Euclidiana, para aceitação de uma pluralidade de modelos geométricos, logicamente consistentes, que podem modelar a realidade do espaço físico”.

Chegamos ao fim da nossa jornada pela TEG!!! Parabéns a todos que nos acompanharam até aqui!

Ao chegarmos ao final deste fórum e por tudo que foi apresentado nessa disciplina, vocês já devem ter percebido o quanto é importante levar os alunos a construir conteúdos por meio de uma aprendizagem significativa. Por outro lado, as várias Geometrias permitem que o aluno tenha a percepção de que as formas de desenhos podem ser diferenciadas para representar uma mesma definição, quando os contextos matemáticos são diferentes.

Também devem ter observado que, em todas as situações geométricas, euclidianas ou não, o auxílio advindo da Geometria Dinâmica vem nos permitir a ajudar muito o aluno no desenvolvimento da habilidade da visualização dentro e fora da sala de aula!

Lembram-se do primeiro fórum? Aqueles que se debruçaram sobre os textos de estudo devem ter percebido que as perguntas colocadas naquele fórum foram todas respondidas ao longo das unidades de estudo. Concordam?

Sugerimos que releiam as respostas dadas no primeiro fórum e as comparem com as que poderiam dar agora. Será que elas seriam as mesmas? Será que essa caminhada os levou a observarem a paisagem da(s) Geometria(s) de forma diferente?