Fórum 6 - Axiomática Euclidiana

Caros alunos, nas semanas anteriores, discutimos várias maneiras de interpretar o que é a aprendizagem significativa, o Modelo de van Hiele, materiais para um laboratório de educação matemática, o teorema de Pitágoras e poliedros de Platão. Nessa semana, os nossos questionamentos serão mais relacionados aos Axiomas de Euclides. Nessa semana, vocês serão apresentados ao quarto grupo de atividades do CDME, chamado Visualizando Poliedros de mesmo volume: brincando com luzes e sombras encontrado em https://www.uff.br/cdme/mobiles/index.html e realizarão o Quizz 4. Estudem e façam essas atividades do CDME antes de responderem ao quizz. Lembrem-se que para responder ao quizz não é necessário construir os materiais concretos apresentados e que não os avaliaremos no quizz por essas construções. Esperamos que gostem da forma como as atividades dos poliedros foram elaboradas, pois elas também os ajudarão na construção dos materiais para o MEU LEG! Neste fórum não discutiremos sobre as perguntas específicas do quizz.

Fórum 6: (Valor: 20 pontos)

Parte 1: (Valor: 3 pontos)

Você estudou em alguma disciplina da sua formação como professor (Licenciatura) tópicos relacionados à axiomática da Geometria Euclidiana? Em caso afirmativo: Faça uma breve resenha de como você conheceu essa axiomática. Caso contrário: Descreva como foi a sua formação dos tópicos relacionados aos conceitos geométricos. (Conheceu em outras disciplinas; somente através de livros didáticos dos Ensinos Fundamental e Médio, ou ainda de outra maneira?) (Para ambos os casos, responda em cerca de 100 palavras)

Durante a minha graduação em Licenciatura em Matemática, no 3º ano tive a oportunidade de estudar o tratamento axiomático da geometria euclidiana plana na disciplina "MA520 Geometria Plana e Desenho Geométrico"*¹ e espacial na disciplina "MA620 Geometria Espacial e Geometria Descritiva"*². No entanto, após cursar a disciplina "Tópicos em Geometria" oferecida no último semestre no curso NTEM, posso dizer que as disciplinas da faculdade foram conduzidas de uma forma bastante tradicional. E com certeza, afirmar que a disciplina "Topicos em Ensino de Geometria" está fazendo toda a diferença.

Abraço a todos

*¹ Ementa da MA520: Tratamento axiomático da geometria euclidiana plana. Introdução às geometrias não euclidianas. Isometrias no plano. Desenho geométrico. Tópicos da história da geometria

*² Ementa da MA620: Tratamento axiomático da geometria euclidiana espacial. Introdução à geometria projetiva. Geometria descritiva. Tópicos da história da geometria.

Parte 2: (Valor: 10 pontos)

2a) (Valor: 6 pontos) Você já conhecia os axiomas e postulados apresentados no Texto 11? Você deve ter percebido que o PSA “Se Euclides tivesse lápis de cor e dobrasse papéis... Introduzindo os Cinco Primeiros Axiomas” apresenta de uma maneira nada convencional os cinco primeiros axiomas. O que você achou desta maneira de introduzir o aluno ao estudo dos axiomas? Justifique a sua resposta, em aproximadamente 100 palavras.

Visto que os axiomas e postulados já foram apresentados na disciplina "Tópicos em Geometria", segue em anexo (cristian-G2_tarefa1_TeG.pdf) a minha tarefa em que realizei uma análise das principais ideias abordadas pelo palestrante nas quatro partes desse vídeo.

Na unidade 6, achei bastante simples as atividades apresentadas entre as páginas 134 e 138 utilizando folhas de papel, lápis coloridos e régua pois, o estudante pode desenvolver conceitos por meio da visualização dos elementos e habituar-se com os termos usados em Geometria, uma vez que o objetivo dessas atividades é construir no estudante as noções elementares da geometria euclidiana e habilitando para realizar uma síntese das características geométricas dos conceitos estudados.

Referência Bibliográfica:

BICUDO, I. Geometria Grega. In Projeto Registros Matemáticos, idealizado pelo Prof. Dr. Fábio Maia Bertato, em colaboração com o Prof. Ms. Marco Escher. Palestra em vídeo. Setembro de 2010. Disponível em https://youtu.be/O3ap76TFG9k (parte 1),https://youtu.be/xTKu7FgaMts (parte 2), https://youtu.be/lu2HJBvDMUg (parte 3) e https://youtu.be/JRgabjO_YYk (parte 4). Acesso em 08/09/2011.

2b) (Valor: 4 pontos) Essa forma de apresentação está de acordo com o desenvolvimento de um conceito visando a uma aprendizagem significativa, segundo o que tem sido estudado nesta disciplina? Por quê? Faça um breve comentário justificando os seus argumentos em aproximadamente 250 palavras.

Segundo Moreira (2000), a aprendizagem significativa é progressiva e caracterizada pela interação entre o novo conhecimento e o conhecimento prévio. Em outras palavras, a nova informação fixa-se em conceitos importantes já existentes na estrutura cognitiva do estudante conforme as ideias de David Ausubel. Nesse sentido, ao realizar as atividades da unidade 6, PSA "Se Euclides Tivesse Lápis de Cor e Dobrasse Papéis...", o estudante obtém as informações primárias dos 5 axiomas fundado em conhecimentos do próprio cotidiano. Na atividade 1, observe o texto: "Por exemplo, à noite, ao observarmos o céu, as estrelas nos dão a ideia do que, em geometria, é chamado de pontos" (p.134), grifo nossos). Observe que o estudante distingui por meio de certos caracteres a existência de infinitos pontos em um plano nesta atividade. Já, nas próximas atividades, ele terá noções de reta, partes da retas e as propriedades da reta, ou seja, o estudante constrói o conhecimento a partir do que ele já conhece e a aprendizagem se dá progressivamente na medida que ele interage esses conhecimentos.

Referência Bibliográfica:

KALEFF, A. M. Tomando o ensino de Geometria em nossas mãos... Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. São Paulo, ano I, nº 2, p. 19-25, 1994.

Moreira, Marco A. (2000). Aprendizaje significativo: teoría y práctica. Madrid: VISOR. 100 p.

_ Nas atividades PSA você conseguiu identificar os cinco postulados de Euclides nas atividades?

Nas atividades PSA - Se Euclides Tivesse Lápis de Cor e Dobrasse Papéis..., a atividade 1 e 4 está relacionada com o 1º postulado, ao solicitar ao aluno que marque dois pontos distintos sobre uma folha de papel e pedir para traçar uma reta que passa por esses pontos. Em outras palavras, o aluno consegue perceber que dois pontos distintos determinam uma única reta. Já, a atividade 3, fala do 2º postulado pois, o aluno percebe que por um ponto passam infinitas retas. Enquanto que a atividade 8 temos o 5º postulado em que o aluno visualiza que retas paralelas diferentes em um mesmo plano não se cruzam e tem a mesma direção. Finalmente, a atividade 9 fala sobre o 4º postulado uma vez que dada duas retas concorrentes, se uma reta estiver na vertical e a outra na horizontal, o ângulo será reto e as retas serão concorrentes e perpendiculares. No entanto, o 3º postulado não foi relacionado pelo fato de tratar da existência da circunferência.

PS! Essa análise pode ser comprovada na tabela presente na página 139 da unidade 6

_ Gostaria que você explicasse se as atividades PSA contemplam os níveis de van Hiele? Quais níveis foram abordados?

Conforme visto na Unidade 2 e debatido no fórum da semana 2, "o modelo de van Hiele valoriza a aprendizagem da Geometria porque considera que a intuição, o raciocínio e a linguagem geométrica são obtidos gradualmente (Processo Gradual), as figuras e propriedades não são abstrações isoladas, inter-relacionam-se e pressupõem diversos níveis que levam a outros significados (Processo Global) e o próprio aluno deverá construir os seus conceitos porque acredita que não existe transmissão de conhecimentos (Processo Construtivo)"

Nesse sentindo, as atividade PSA contemplam os níveis de van Hiele, uma vez que tanto o nível de Visualização quanto o nível de Análise está presente em todas atividades pois, os aluno pensa por meio de considerações visuais (Visualização) e raciocina sobre conceitos geométricos (Análise). Já, o nível de Ordenação só não está presente na atividade 1 visto que o aluno institui inter-relações das propriedades entre figuras. E por último, o nível da Dedução Formal está presente nas atividades 8, 9, 10 e 11 em que o aluno leva a compreensão de significado da dedução e o papel dos axiomas e postulados.

Referência Bibliográfica:

LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? A educação matemática em revista. Geometria. Blumenau, número 04, p.03-13, 1995. Edição especial.

_ Mas note que para cada um dos conceitos considerados apenas o nível da Visualização é atingido (página 138 - Unidade 6).

Dentre as atividades PSA, conforme afirmação feita 11 setembro 2011, 00:30, "o aluno consegue perceber que dois pontos distintos determinam uma única reta" (Atividade 4, p. 135), concorda? E mais, acredito que visualmente, o aluno consegue determinar um novo ponto entre os dois pontos dados que esteja em cima da reta, por exemplo o ponto médio, não é verdade? E se o aluno repetir diversas vezes tal procedimento, vai perceber que uma reta tem vários pontos.

Porém, não estou interessado nessa colocação: "... uma reta tem vários pontos ..." E sim, na expressão: "uma reta tem infinitos pontos". E ai, como mudar o pensamento do meu aluno?

Pensando nisso! A professora Ana Kaleff diz que o "nível de van Hiele a ser atingido com esse conjunto de atividades é o da visualização para o desenvolvimento de cada um dos conceitos considerados, pelo fato de se utilizar as cores, as dobraduras do papel e de não se poder obter experimentalmente e na vida real, infinitos pontos, ou de não se encontrar retas infinitas" (2008, Unidade 6, p. 138, grifo nossos)

Visto que é possível trabalhar o conceito de infinito no Ensino Fundamental, não vejo o porque da seguinte afirmação: "não se poder obter experimentalmente e na vida real, infinitos pontos, ou de não se encontrar retas infinitas". Veja o link: https://www.leoakio.com/infinito.html. Se está procurando um exemplo mais simples, peça para o aluno dizer um número, e mostre para ele que é possível um número maior. Logo, o conjunto desses números será infinito. Simples e fácil!

Afinal, quantas vezes fomos surpreendidos pelos nossos alunos, concorda? E para mudar a colocação, leve uma lupa para sala de aula, e mostre ao seu aluno que é possível obter novos pontos nessa reta cheia de pontos. E assim, fale do microscópio, ele vai perceber que é possível ter outros pontos. Intuitivamente, ele vai perceber que a expressão: "uma reta tem infinitos pontos", está correta!

Esse mesmo raciocínio serve para a expressão: "um ponto passam infinitas retas" na atividade 3. Afinal, por um ponto é possível traçar uma reta vertical, uma reta horizontal e várias retas inclinadas tanto para direita quanto para esquerda. Basta mudar a inclinação da reta, concorda? E o caso infinito, use a lupa e o microscópio!

Conclusão! Como diria a professora Ana Kaleff: "se os alunos devem adquirir conhecimento sobre os fundamentos geométricos elementares, é importante que os professores não só tenham um bom domínio sobre seus aspectos matemáticos, como também saibam identificar e dominar metodologias de ensino que lhes permitam a familiaridade com diversificadas maneiras de levar à criança a uma aprendizagem geométrica significativa"(KALEFF, 2002)

Referências Bibliográficas:

KALEFF, Ana Maria M. R., Criando, Vendo e Entendendo Sólidos de Revolução. Revista Boletim Gepem, Rio de Janeiro - RJ 2002.

_ Note que suas sugestões dão uma ideia do infinito, mas não comprovam experimentalmente ou na vida real a existência de infinitos pontos!

Mas o fato do aluno ter a ideia do infinito, acredito que seja o suficiente para ele reconhecer a propriedade, não é verdade? Dessa forma, tendo a ideia de infinito, o aluno assume facilmente que "uma reta tem infinitos pontos" e que "um ponto passam infinitas retas". Assim, ao reconhecer uma propriedade, temos o nível de Análise. Logo, a atividade 3 temos o nível de visualização e o nível de análise, o que justifica o fato de não concordar com a frase "para cada um dos conceitos considerados apenas o nível da Visualização é atingido"

Parte 3 : (Valor: 7 pontos)

3 a) (Valor: 4 pontos) As atividades para a sala de aula ajudaram no seu entendimento do texto introdutório “Os Elementos” de Euclides? Faça uma análise de como foi a sua leitura deste texto, explicitando as suas dificuldades, bem como suas impressões. Como você justifica o seu comportamento?

O fato das atividades PSA utilizarem recursos que os estudantes sabem de forma a construir as noções da geometria plana, observamos que elas auxiliam de forma prática no entendimento da axiomática euclidiana. Já, o texto 11 - "Os elemento" de Euclides, é válido dizer que a presença da História da Matemática ajuda a gente se situar no tempo e entender a grandiosidade da obra de Euclides que consegue reunir em 13 livros, um consentimento dos conhecimentos matemáticos da época (século IV a.C.).

Quanto ao artigo - "Os Cinco Primeiros Postulados e Axiomas da Geometria Euclidiana", em diversos instantes, a liguagem usada não é clara e muito abstrata para expor os postulados e axiomas, talvez causada pela alteração de significados das palavras acontecidas nas traduções e época, o que prova ao longo dos anos que a redação tem sido mudada. Para comprovar, sugiro aos colegas que não tiveram a oportunidade de cursar a disciplina Tópicos em Geometria, que assista a palestra do professor Bicudo

3 b) (Valor: 3 pontos) Você acha viável se colocar essas atividades em sala de aula para a faixa etária indicada? Por quê? Justifique a sua resposta.

Na página 139 da unidade 6, a ficha técnica das atividades indica que a faixa etária dos estudantes é cerca de 11 anos. Enquanto que o PCN (1998) diz: "se por um lado, nessa fase do desenvolvimento dos alunos, acentuam-se de modo geral as atitudes de insegurança, por outro lado, ampliam-se as capacidades para estabelecer inferências e conexões lógicas, para tomar algumas decisões, para abstrair significados e ideias de maior complexidade, para argumentar expressando ideias e pontos de vista com mais clareza" (p. 62) comprovando que embora os alunos dessa idade, apresentam a várias vezes características infantis, as atividades sugeridas estão de acordo com os objetivos de Matemática do 3º ciclo do ensino fundamental.

Considerações Finais: Ana Kaleff

Primeiramente, quero enfatizar o aspecto principal das duas unidades estudadas. Ou seja, o fato de que, ao estudarmos geometria euclidiana estamos tratando da geometria dos conteúdos, ligada aos modelos teóricos que buscavam representar a natureza e o meio ambiente até o século XVIII.

Aqui quero lembrar o poeta senegalês Baba Dioum o qual coloca que “no final, nós conservaremos apenas o que amamos. Nós amaremos apenas aquilo que entendemos. E entenderemos apenas o que nos foi ensinado” (* )

Portanto, ao levarmos a geometria euclidiana para escola, de uma maneira consciente como a que aqui proponho, por meio de uma aprendizagem significativa, e ligada à representação das formas mais elementares da natureza, estaremos indo ao encontro do que o poeta diz e a favor de uma educação que resgata o amor, não só pela geometria e pela matemática, mas o amor pela natureza. Amor, este, cada vez mais importante para os nossos dias!

Em segundo lugar, é preciso dizer que, de propósito, no Quadro Comparativo entre Maneiras de Apresentação dos Cinco Primeiros Postulados e Axiomas, (p. 133) tentei levá-los a perceber diferentes maneiras utilizadas pelos autores, através dos tempos, para expressar as regras chamadas de postulados. Busquei levá-los a vivenciar um certo estranhamento frente a essas maneiras, para que pudessem perceber a evolução na forma de expressá-las e possíveis diferenças encontradas nos livros didáticos de hoje em dia. Por exemplo, nesse Quadro, busquei levar todos vocês a analisar como uma mesma regra pode ser apresentada por um autor como definição e, por outro, como postulado. Essa análise é muito importante para você, como professor.

Busquei, no entanto, mostrar que isso não é tão importante na sala de aula, mas o que deve ser colocado para o aluno é o contexto no qual as atividades estão sendo desenvolvidas como no P.S.A. “Se Euclides Tivesse Lápis de Cor e Dobrasse Papéis...” . Esse contexto, relacionado à natureza, fica determinado no inicio das atividades, quando coloco que: “ Você sabia que a Geometria é o ramo da Matemática que tenta descrever as formas e os padrões de regularidade encontrados na natureza? Muitas vezes, nem nos damos conta, mas o mundo a nossa volta está repleto de exemplos de formas geométricas e padrões que se repetem em seqüências de regularidade, as quais são descritas nos estudos da Geometria.” (p.134).

Espero que esse texto e o PSA realmente possam contribuir para mudanças na sua maneira de pensar e na introdução da geometria euclidiana na sua sala de aula.

(*) “In the end, we conserve only what we love. We will love only what we understand. We will understand only what we are taught" Em Scholl of Natural Resources and the Environment, https://www.snr.arizona.edu/node/455 ”