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Fórum 4 - Teorema de Pitágoras
Nas semanas anteriores, discutimos várias maneiras de interpretar o que é a aprendizagem significativa, o Modelo de van Hiele e materiais para um laboratório de educação matemática. Nessa semana, os nossos questionamentos serão mais relacionados com a sala de aula e com o teorema de Pitágoras. Não pensem que seja exagero tratarmos desse tema, achando que não encontrarão novidades! Tenho certeza que serão surpreendidos!
Nessa semana vocês serão apresentados ao segundo grupo de atividades do CDME, chamado de Tangrans Pitagóricos Concretos e Virtuais encontrados em https://www.uff.br/cdme/tangrans_pitagoricos/index.html e realizarão o Quizz 2.
É importante que estudem e façam essas atividades do CDME antes de responderem ao quizz. Lembrem-se que para responder ao quizz não é necessário construir os materiais concretos apresentados e que não os avaliaremos no quizz por essas construções. Esperamos que gostem da forma como as atividades dos tangrans pitagóricos foram elaboradas! Como no anterior, neste fórum não discutiremos sobre as perguntas específicas do quizz.
Parte 1 (Valor: 5 pontos)
1 a) (Valor: 2 pontos) Você conhecia a generalização do teorema de Pitágoras? De onde? Como? Comente brevemente sobre o significado dessa generalização (responda com aproximadamente 100 palavras)
Quanto o item a) da questão 1, concordo com as palavras da coordenadora Ana Kaleff, me surpreendeu a demonstração da generalização do teorema de Pitágoras, nas 3 atividades apresentadas a partir da página 93 da unidade 4, utilizando materiais concretos e jogos tipo quebra-cabeça. Sabem! Na sala de aula, sempre procuro inovar nas minhas práticas. E com certeza! Essa demonstração será válida! Por exemplo, a história do teoremas de Pitágoras foi debatida na disciplina HMAP, a demonstração utilizando a geometria dinâmica, nas disciplinas IEM1 e IEM2. E agora, material concreto e jogos! Parabéns!!! Fico muito feliz em fazer parte do curso.
Para finalizar, gostaria de convidá-los para assistir o vídeo "História da Matemática: Pitágoras - Muito Mais que um Teorema" disponível no link: https://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/ modules/debaser/singlefile.php?id=9636 pois, embora esteja em espanhol, é muito bom! Aproveitem!
1 b) (Valor: 3 pontos) O Texto 9 e as atividades “Para a Sala de Aula” (PSA) – Se Pitágoras tivesse quebra-cabeças planos especiais” trouxeram novidades para você? Se sua resposta for afirmativa, relacione-as e faça um breve comentário sobre as conclusões que chegou e observou. Se a resposta for negativa, indique as razões (responda com aproximadamente 150 palavras)
No item b) da questão 1, durante o processo de montagem do quebra-cabeça, além da cor, as peças são preparadas a partir do formato de diversas figuras. Feito a montagem, é possível chegar ao teorema de Pitágoras estabelecendo uma relação entre os lados das figuras e as áreas por meio de conceitos algébricos utilizando a contagem no papel quadriculado. No entanto, recomendo a associação da semelhança de triângulos e o uso do recurso de desenhos caso persista a dificuldade em fabricar o quebra-cabeça.
É válido dizer que o uso dos recursos didáticos concretos, propricia o desenvolvimento de conceitos abstratos porque consenti a manipulação de objetos e prontifica a percepção das figuras geométricas
E mais, gostaria de lembrá-los que a "Atividade 3 - Visualizando a Generalização do Teorema de Pitágoras para Semicírculos" é o exemplo do problema de Hipócrates, disponível no link https://www.acheiox.com.br/teorema-de-pitagoras-uma-generalizacao/, em que é possível visualizar a demonstração do teorema através da relação entre a área do triângulo e as áreas dos semicírculos.
Quantos as atividades PSA, gostei da forma que foram abordadas, e com certeza, é possível trabalhar no Ensino Fundamental. Acredito que o segredo das atividades, seja o uso do material concreto pois, é possível a inclusão do deficiente visual utilizando material EVA na construção do quebra-cabeça.
----------------- Comentários dos colegas sobre a minha postagem na parte b) ------------------
Claudiomir Siqueira: Conheci a generalização do Teorema de Pitágoras na faculdade. Na disciplina de Geometria tivemos que apresentar diversas maneiras de demonstrar esse teorema (Benjamin Constant, Garfield, entre outros) e um dos grupos demonstrou algebricamente a generalização. Essa generalização significa dizer que se for construídas figuras semelhantes sobre os lados de um triângulo retângulo, a área da figura construída sobre a hipotenusa será igual a soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos. Ou seja, não vale apenas para quadrados, vale para qualquer figura semelhante.
Comentários:
No triângulo retângulo acima, seja A, B, C as áreas de figuras semelhantes construídas sobre a hipotenusa a e sobre os catetos b e c. Como a razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, temos:
e
Portanto,. Sendo, pela propriedade das proporções, concluímos que . Veja, se figuras semelhantes são construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, como afirma o teorema de Pitágoras, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas construídas sobre os catetos.
Fonte de Consulta: https://www.acheiox.com.br/teorema-de-pitagoras-uma-generalizacao/
Parte 2 (Valor: 5 pontos)
Nas considerações sobre o questionamento ao leitor do Texto 9 são apresentados dois tipos de tabelas: uma Ficha Técnica e uma Tabela Descritora. Nesta última, é realizada uma análise com respeito ao Modelo de van Hiele.
2 a) (Valor: 4 pontos) Comente, discuta e traga suas dúvidas e impressões sobre cada uma destas tabelas. Essas tabelas fazem parte da prática docente ou são destinadas a exercícios a serem realizados pelos discentes? (use aproximadamente 100 palavras para a Ficha Técnica e 200 para a Tabela Descritora). Atenção: sejam cuidadosos nas respostas, pois a sua capacidade de analisar um texto está sendo avaliada!
Quanto ao item a) da questão 2, conforme exposto na página 101 da unidade 4, temos que a Ficha Técnica da Atividade permite o professor verificar "o tipo de atividade (se para ser realizada individualmente ou em grupos de alunos); a faixa etária dos alunos aos quais elas se destinam; os objetivos geométricos a serem alcançados pelos alunos (o assunto que será apresentado); os pré-requisitos matemáticos (conhecimentos anteriores desejáveis) e o material, a ser empregado, necessário à sua realização" (grifos nossos). Nesse sentido, a Ficha serve para organizar e direcionar o rumo das atividades planejadas, uma vez que ela é um instrumento de auxílio do professor. No entanto, não foi possível estabeler quantidade de horas necessárias para realização da atividade. Para isso, deixo a sugestão a incrementação do item chamado duração.
Por outro lado, além de acompanhar o desenvolvimento do pensamento dos alunos em cada nível, pode-se percerber em quais momentos na Tabela Descritora será aplicada as características da teoria de van Hiele pois, a realização da tarefa proposta discriminada em cada item é explanado pela fase da metodologia pedagógica em que se encontra e pelo respectivo nível. Por exemplo, na Atividade 1, foram feito o uso dos níveis de visualização, análise e dedução informal da estrutura cognitiva que descreve as características do processo de pensamento do aluno ao entendimento de um determinado conceito e também, as fases facultativas de orientação direta, explicitação, orientação livre e fechamento referente a metodologia de ensino ao desenvolvimento cognitivo de cada um dos níveis.
Assim, para evitar equívocos, todas as etapas traçadas no início do planejamento deve sem realizada. E mais, devemos adequar os conteúdos a serem ensinados dentro do nível em que o estudante se encontra. Por isso, a elaboração da Tabela Descritiva. Afinal, a inclusão de conceitos em diferentes níveis podem causar prejuízos à aprendizagem.
_ Em relação a Ficha Técnica e a Tabela Descritora, quais são os benefícios para o professor? E para os alunos?
A Ficha Técnica "serve para organizar e direcionar o rumo das atividades planejadas, uma vez que ela é um instrumento de auxílio do professor". Já a Tabela Descritora "acompanha o desenvolvimento do pensamento dos alunos em cada nível (...) e percerbe em quais momentos é aplicado as características da teoria de van Hiele" adequando "os conteúdos a serem ensinados dentro do nível em que o estudante se encontra". Resumindo, a construção do conhecimento significativo por parte do discente e um planejamento melhor das aulas por parte do docente.
2 b) (Valor: 1 ponto) Observe bem como as atividades apresentadas ao longo do texto 9 e do PSA são elaboradas. Coloque neste fórum as suas dúvidas. Você apresentaria esse tipo de atividade para os seus alunos? Por que? (responda com aproximadamente 150 palavras)
Quanto ao item b da questão 2, observamos que os recursos didáticos utilizados nas atividades torna fácil o ensino-aprendizagem dos conceitos geométricos e podem ser usadas na sala de aula. Dessa forma, quando ocorre um planejamento, verificamos os detalhes de cada passo na aplicação das tarefas. E dentre as atividades apresentadas, destacamos o emprego de artefatos modeladores que favorece uma melhor visualização das figuras geométricas, além de permitir o manuseio das peças, levando em consideração a análise e deduções de conceitos. E conforme exposto na página 89 da unidade 4, um outro ponto é a utilização das tabelas como ferramentas de auxílio, tanto na preparação das atividades quanto na execução das tarefas que apresentam dados, auxiliando o aluno na organização das informações obtidas ao longo dos experimentos e encaminhando-o à prática do raciocínio.
Considerações Finais: Ana Kaleff
Discutimos, neste fórum, a generalização do Teorema de Pitágoras e as considerações sobre o questionamento ao leitor, do Texto 9 “A GEOMETRIA DOS PITAGÓRICOS”. Em particular, foram apresentadas uma ficha técnica, uma tabela descritora e uma análise com respeito ao Modelo de van Hiele.
Vocês devem ter percebido que o Teorema de Pitágoras não é válido somente para áreas de quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, mas para áreas de figuras semelhantes quaisquer justapostas aos lados do triângulo. É isso que se entende por generalização do Teorema de Pitágoras. Ou seja, as relações entre as áreas se mantém para figuras semelhantes.
Notem que, essa generalização do teorema se refere às relações algébricas entre figuras semelhantes e não porque se aplicam métodos didáticos alternativos, os quais usam jogos e artefatos para mostrar o teorema em sala de aula.
Por sua vez, quanto à Ficha Técnica e à Tabela Descritora lembrem-se que tais instrumentos metodológicos são de uso exclusivo do professor e não são atividades para o aluno. Eles servem como um guia para a atuação didática do professor.
Tenho certeza que os temas tratados levaram vocês a uma boa reflexão sobre eles, bem como ajudaram a provocar grandes mudanças cognitivas em cada um, pois se bem entendo, o assunto foi abordado de maneira bastante interessante para todos.
Gostei muito de ver as declarações e o entusiasmo daqueles que vivenciaram as atividades dos jogos CDME para a preparação do QUIZZ. Acredito que esses jogos concretos/virtuais os ajudarão a trabalhar com mais consciência o Teorema de Pitágoras e não são um simples recurso que estamos utilizando para prepará-los para um momento de avaliação na TEG.
Continuem com vontade de serem professores renovadores de suas salas de aula.