Fórum 5 - Poliedros com estruturas de arestas

Caros alunos, nas semanas anteriores, discutimos várias maneiras de interpretar o que é a aprendizagem significativa, o Modelo de van Hiele, materiais para um laboratório de educação matemática e o teorema de Pitágoras. Nessa semana, os nossos questionamentos serão

mais relacionados aos Poliedros de Platão, suas relações interdisciplinares e elementos geométricos.

Nessa semana, vocês serão apresentados ao terceiro grupo de atividades do CDME, chamado de Poliedros de Platão e seus duais encontrados em https://www.uff.br/cdme/poliedros_ platao_dual/index.html e realizarão o Quizz 3.

Estudem e façam essas atividades do CDME antes de responderem ao quizz. Lembrem-se que para responder ao quizz não é necessário construir os materiais concretos apresentados e que não os avaliaremos no quizz por essas construções. Esperamos que gostem da forma como as atividades dos poliedros foram elaboradas, pois elas também os ajudarão na construção dos materiais para o MEU LEG! Neste fórum não discutiremos sobre as perguntas específicas do quizz, mas no Forum de Dicas estão algumas observações sobre a funcionalidade do quizz.

Fórum 5: (Valor: 10 pontos)

No texto PSA "Se Platão tivesse canudos...", apresentamos uma sequência de atividades envolvendo a construção de alguns modelos das estruturas das arestas dos sólidos de Platão, bem como atividades que relacionam tais sólidos à razão áurea. Na página 123, a Atividade 5 "Construção do Cubo e de suas Diagonais", você é levado a construir uma estrutura de arestas para modelar um cubo.

Esta estrutura apresenta rigidez das faces, ou seja, as faces se apresentam rígidas e a estrutura sempre modela as faces quadradas de um cubo? Justifique detalhamente a sua resposta, por meio de argumentos geométricos, ou seja, descreva as propriedades geométricas envolvidas nessa estrutura e explicite detalhadamente (em termos das medidas do comprimento dos lados, ângulos e outros elementos geométricos), de que maneira tais propriedades sustentam a sua argumentação.

Não saia "chutando" a sua argumentação e baseando a somente em termos da construção das arestas com o material concreto. Não deixe de consultar. um bom texto sobre Geometria Euclidiana para dar a sua resposta. (Responda em aproximadamente 300 palavras)

Uma boa referência para os estudos dos conteúdos de Geometria é: BARBOSA, J. L. M. (2004) Geometria Euclidiana Plana. 5ª ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.

Primeiramente, vejamos algumas observações:

(1) "Os poliedros são sólidos limitados por polígonos. Os polígonos são as faces do poliedro (são as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são os segmentos de reta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro (são os pontos de encontro das arestas). Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro"

Fonte de Consulta (Em 01/09/2011): https://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/ poliedros.htm;

(2) "Em geometria, os movimentos que nos são permitidos são os movimentos rígidos (translações, rotações, reflexões), nos quais a distância entre quaisquer dois pontos da figura não é alterada. Assim, as propriedades geométricas são aquelas que são invariantes através dos movimentos rígidos. Qualquer movimento rígido de uma figura não provoca nenhuma modificação nas propriedades geométricas de uma figura"

Fonte de Consulta (Em 01/09/2011): www.educ.fc.ul.pt/didmat/20042005h/avaliacao/Aval1-CompTextos.doc.

Segundo a Unidade 5, "a estrutura de canudos não é rígida e pode ser achatada contra a superfície da mesa. Para que a estrutura se torne uma de um cubo, é necessário colocar algumas diagonais de suas faces, ou uma de suas diagonais interiores, ligando dois vértices opostos de duas de suas faces paralelas..."(p. 123)

Pensando nisso, podemos dizer que o cubo é um tipo de poliedro e a suas diagonais são segmentos de retas formadas pelas uniões dos vértices não consecutivos responsáveis pela sustentação da figura. Dessa forma, observamos que o número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de arestas porque quanto maior a quantidade de diagonais, maior o número de arestas e mais rígida a estrutura da figura.

Por outro lado, o único polígono que não possui diagonais é o triângulo e por isso, apresenta uma estrutura rígida que mesmo exercendo pressão não é possível deformá-lo, uma vez que cada aresta é sustentada pelos dois vértices que interligam as outras arestas.

Assim, as propriedades geométricas são mantidas porque não é possível criar outra figura com formas e com formas, ângulos e comprimentos a partir de uma aresta do triângulo.

Considerações Finais: Ana Kaleff

Nesse fórum 5, vocês exercitaram uma habilidade necessária para aqueles que fazem um curso de pós-graduação, precisam ser preparados para escrever uma monografia ou um trabalho final, e que envolva uma pequena pesquisa. Esta, provavelmente, fora dos materiais disponibilizados pelas disciplinas na plataforma do NTEM.

A resposta esperada neste Fórum 5 encontra-se, em parte, na própria página da Atividade 5 (página 123 do arquivo em “.PDF”), a complementação poderia ser encontrada na bibliografia indicada.

Ou seja, no texto encontra-se que: "Você deve ter observado que a estrutura de canudos não é rígida e que pode ser achatada contra a superfície da mesa. Para que a estrutura se torne uma de um cubo, é necessário colocar algumas diagonais de suas faces, e uma de suas diagonais interiores, ligando dois vértices opostos de duas de suas faces paralelas. Na Figura 7, encontra-se um exemplo de como ficariam tais diagonais. Nesse caso, elas formam a estrutura de um tetraedro inscrito no cubo. Observe também que em cada vértice de uma diagonal da face, encontram-se dois vértices de outras duas diagonais."

Todos perceberam que a diagonal de uma face do cubo divide-a em dois triângulos, o que a torna rígida. Isso decorre do fato do triângulo ser uma figura geométrica rígida, porque para cada dois triângulos vale a seguinte propriedade de congruência: dados dois triângulos de lados correspondentes de mesma medida, então eles são congruentes (propriedade LLL). Essa é a argumentação correta!

Observem que a rigidez advém da comparação de dois triângulos de lados correspondentes de mesmo comprimento (triângulos congruentes) da seguinte maneira: ao se tentar modificar um ângulo de um dos triângulos (ou seja, submetendo o ângulo a um movimento de compressão, isto é, diminuindo o ângulo entre dois lados adjacentes), o terceiro lado do triângulo teria de se modificar (ou seja, tornar mais curto), o que é absurdo, pois, por hipótese, os dois triângulos têm lados correspondentes de mesmo comprimento.

A sugestão, então, é que vocês façam a demonstração dessa propriedade, ou se preferirem, procurem em livros didáticos para o nono ano (antiga 8ª série). Essa demonstração envolve a argumentação explicada no parágrafo anterior.

Muitos de vocês colocaram que a rigidez do triângulo se deve à semelhança e à lei dos senos. Essas argumentações não são válidas para a rigidez. Pois, triângulos semelhantes podem ter lados proporcionais e não do mesmo comprimento (o que negaria a hipótese dos dois triângulos terem os mesmos comprimentos de lados, ou seja, a impossibilidade de variação nos comprimentos). Por outro lado, a lei dos senos, é a propriedade que caracteriza a variação da razão existente entre as medidas de cada lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto a este lado.

Alguns de vocês também argumentaram sobre a existência de triângulos e condições entre as medidas dos comprimentos dos lados para que um triângulo exista. Infelizmente, essa argumentação também não justifica a rigidez.

Outros ainda apresentaram argumentos somente baseados na observação da construção da estrutura das arestas do cubo com canudos. Lembrem-se que a modelagem de tal situação, não é uma justificativa geométrica da situação. Ela é uma representação, ou seja, uma "mostração" concreta e, portanto, não é uma argumentação matemática (geométrica) da situação.