Fórum 7 - Geometrias não-Euclidianas e dos Movimentos das Figuras

Caros alunos, nas semanas anteriores, discutimos várias maneiras de interpretar o que é a aprendizagem significativa, o Modelo de van Hiele, materiais para um laboratório de educação matemática, o teorema de Pitágoras, poliedros de Platão e equivalentes. Nessa semana, os nossos questionamentos serão mais relacionados aos textos 13 e 14 que tratam das Geometrias não-Euclidianas e da Geometria dos Movimentos das Figuras Rígidas (Unidades 8 e 9), respectivamente.

Nessa semana, vocês serão apresentados ao quinto grupo de atividades do CDME, chamado Cônicas como Curvas Luminosas encontrado em https://www.uff.br/cdme/curvas_luminosas/ index.html e, se quiserem, poderão realizar o Quizz 5 (opcional).

Estudem e façam essas atividades do CDME antes de responderem ao quizz. Lembrem-se que para responder ao quizz não é necessário construir os materiais concretos apresentados e que não os avaliaremos no quizz por essas construções. Esperamos que gostem da forma como as atividades foram elaboradas! Neste fórum não discutiremos sobre as perguntas específicas do quizz.

Fórum 7: (Valor: 15 pontos)

Parte 1: (Valor: 3 pontos)

Você já havia tido alguma experiência com as Geometrias não-Euclidianas, como as que lhe foram apresentadas no Texto 13? Em caso afirmativo: Descreva a sua experiência. Caso contrário: O que você achou desta maneira de ser introduzido a esse estudo? Justifique as suas observações fazendo uso de argumentações que se refiram explicitamente ao texto. Seja objetivo!!! (Responda em aproximadamente 150 palavras)

Conforme relatado no último fórum, durante a minha graduação em Licenciatura em Matemática, no 3º ano tive a oportunidade de estudar de uma forma bastante tradicional a geometria não-euclidiana na disciplina "MA520 Geometria Plana e Desenho Geométrico", bem diferente das disciplinas até o momento no curso (Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria do Ensino Médio, Tópicos em Geometria) e do texto 13 - Surgimento das Geometrias não-Euclidianas e o Movimento da Matemática Moderna da nossa disciplina em que é possível conceber como os efeitos dessas mudanças tem forte ascendência na educação atual e vivenciar os pontos de vista que demarcaram as transformações no ensino, uma vez que o estudo das Geometrias não-Euclidianas é apresentado conforme os fatos da história da Matemática.

Dentre as disciplinas cursadas até o momento, destaco as URLs https://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Portuguais/OS_MISTERIOS_DA_GEOMETRIA.pdf e https://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Portuguais/EINSTEIN E_O_BURACO_NEGRO.pdf em que é possível prática da leitura em sala de aula, além dos livros relatar experiências para serem trabalhadas a geometria não-euclidiana

Parte 2: (Valor: 5 pontos)

Você teve dúvidas na leitura do Texto 13 sobre os sistemas axiomáticos apresentados? Traga as dúvidas, apresentando-as na forma de uma pergunta, para discussão neste fórum. Se não teve dúvidas, comente brevemente sobre as facilidades encontradas e sobre a importância dos assuntos estudados, justificando a sua argumentação, sempre se baseando no texto. (Responda em aproximadamente 150 palavras)

Na unidade 8, temos que "as chamadas Geometrias não-Euclidianas ou Sistemas Axiomáticos não-Euclidianos foram inicialmente estabelecidas a partir da negação do 5º Postulado de Euclides" (p. 165). Dessa forma, dados uma reta e um ponto fora dessa reta, duas ou mais retas podem ser traçadas passando por esse ponto e paralelas à reta dada conforme apresentado na Geometria Hiperbólica, enquanto que na Geometria Elíptica, dados uma reta e um ponto fora dessa reta, nenhuma reta pode ser traçada passando por esse ponto e paralela à reta dada.

Assim, fica claro que as Geometrias não-Euclidianas se afirmaram quando os estudiosos matemáticos conseguiram criar modelos que mostravam que o Quinto Postulado de Euclides não era uma verdade absoluta pois, o uso de desenhos junto a representação gráfica do Modelo de Félix Klein que foi escrito por meio de fórmulas visa facilitar o entendimento da relação de paralelismo das retas de tal forma que um dos aspectos importantes sobre o estudo da Geometria não-Euclidiana está relacionado a criação de modelos que possibilitam a visualização de outras formas de Geometria como a Hiperbólica e a Elíptica, que são irregulares e devem ser vistas como alternativas da Geometria Euclidiana.

_ Realmente os modelos facilitam bastante o entendimento das geometrias não-euclidianas e da negação do 5o postulado. Você teria alguma dúvida sobre os sistemas axiomáticos apresentados no texto 13?

Embora o contato com a Geometria não-euclidiana na graduação foi tradicional, tive um professor bastante exigente que não aceitava desenho como justificativa. Confesso! Foi difícil acostumar com o posicionamento inflexível do professor. No entanto, hoje vejo o quanto isso me fez bem porque embora David Hibert tenha causado uma série de obstáculos para compreensão dos novos conceitos geométricos pelo fato de não usar desenhos e figuras por não serem aceitos como elementos constitutivos das demonstrações dos teoremas geométricos, ele alterou a concepção das teorias fundamentais das Geometrias e por isso, precisamos reconhecer a grande contribuição desse matemático. Agora, quanto aos sistemas axiomáticos apresentados no texto 13, deixo como sugestão aos colegas que estão tendo dificuldade no entendimentos dos modelos, a atividade 2 - "Conhecendo a elipse por meio de dobraduras de papel" disponível na URL https://www.uff.br/cdme/conicas/aluno02.html

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1 - Para compreender melhor a Geometria da Incidência contida na unidade 8, página 167, consultei outras fontes bibliográficas a qual destaco a seguinte: https://www.mtm.ufsc.br/~msbraitt/capitulo_III.pdf.

Por exemplo, vai descobrir porque a palavra "incidente" é usada para substituir a palavra "pertence" que usamos no modelo usual da geometria plana.

2 - Uma Geometria de Incidência é uma relação de ordem conexa estrita?

Nas condições de um sistema axiomático I é um conjunto qualquer (não vazio?). Em I1 diz que existe ao menos uma reta em I, e em I3 diz que toda reta em I contém ao menos dois pontos. Então I é não-vazio?.: Isso mesmo! Segue de I1 e de I3 que I é um conjunto não-vazio!

Ainda sobre I3, as retas são subconjuntos de I e esses subconjuntos terão no mínimo dois elementos? Por exemplo, em I={A,B} não existirão subconjuntos (retas) do tipo {A}.: Pelo segundo axioma de incidência precisamos de dois pontos para determinar uma reta. No seu exemplo do conjunto I, só existe uma única reta (que é determinada pelos pontos A e B).

Em I4 diz que para todo par de pontos distintos de I existe uma única reta que contém esses pontos, então dois elementos do conjunto I sempre se relacionam formando um subconjunto (reta), ou seja, todos os elementos de I se relacionam entre si (conexa)?: Sim! Só não tenho certeza de que esta propriedade é chamada de conexa.

Parte 3: (Valor: 7 pontos)

3 a) (Valor: 3 pontos) Você teve dúvidas em relação ao texto 14 e ao PSA “Se Félix Klein tivesse pranchetas dinâmicas modeladoras de polígonos...” ? Em caso afirmativo: Traga as suas dúvidas para discussão, apresentando-as na forma de uma pergunta. Caso contrário: Tente responder às dúvidas de algum de seus colegas ou, se preferir, descreva um exemplo de como você faria uso da prancheta em sala de aula (de uma maneira diferente das apresentadas no livro). (Responda em aproximadamente 150 palavras)

Embora muitas pessoas acreditem que um aspecto negativo marcante do Movimento da Matemática Moderna (MMM) foi o abandono da Geometria e o formalismo excessivo nos cálculos numéricos, gostaria de ressaltar a fala da coordenadora Lucia Villela da disciplina Tópicos em Geometria: "a Geometria não foi 'abandonada' durante o MMM: ela foi abordada sobre outro enfoque. Ao se ampliar o foco para o tratamento estrutural da Matemática, isto também aconteceu com as concepções dos conceitos geométricos: a Geometria das Transformações, por exemplo, anteriormente não pertencente às propostas curriculares, recebeu um lugar ao sol... As obras de Catunda, Martha de Souza Dantas e da Coleção GRUEMA estão aí para prová-lo". Nesse sentido, o texto 14 - A Geometria dos Movimentos das Figuras Rígidas e o Reaparecimento das figuras nos livros didáticos, é bastante claro a importância da Matemática nas outras áreas do conhecimento e o surgimento dessa geometria, chamada de Geometria dos Movimentos das Figuras Rígidas.

Quanto a atividade PSA - "Se Felix Klein Tivesse Pranchetas Dinâmicas Modeladoras de Polígonos ..." proposta na página 178 da unidade 9, "visam a introduzir as relações que levam ao cálculo das áreas do paralelogramo e do triângulo" por meio da utilização de pranchetas em que é possivel, o cálculo dessas áreas realizando a contagem dos números de quadradrinhos que estão no interior dos modelos

_ Em relação ao item (a) da Parte 3, você teria alguma dúvida sobre o texto 14 ou sobre as atividades PSA?

Em relação ao item (a) da Parte 3, não encontrei nenhuma dúvida quanto ao texto 14 e as atividades PSA. Observo que não atendi o que foi pedido nesse item, uma vez que as minhas colocações em sábado, 17 setembro 2011, 17:56 não refere-se a atividade proposta.

Sendo assim, acredito que uma forma diferente de abordar o uso da prancheta em sala de aula, seria o reconhecimento das formas poligonais equivalentes com a manipulação das pranchetas, e reconhecer o teorema de Tales na prancheta modeladora de triângulos.

3 b) (Valor: 4 pontos)Você acha que os livros didáticos atuais ainda refletem a rejeição ao ensino da Geometria Euclidiana e ao uso de figuras? E as escolas, como se portam em relação ao ensino de Geometria? Comente brevemente, justificando a sua argumentação com base no que você leu nas Unidades 8 e 9. Responda em aproximadamente 250 palavras.

Segundo Valente (2008), o Movimento da Matemática Moderna – MMM foi vivenciado no período do pós-guerra e nos Estados Unidos e Europa tomou corpo o ideário de reformar o ensino de matemática. Ele constitui referência fundamental para os rumos da educação matemática enquanto campo de pesquisa pois, tratava-se do momento histórico tão importante que desencadeou, com o seu refluxo, a sistematização e organização da atividade científica relacionada ao ensino e aprendizagem da Matemática. Conforme visto na unidade 8, a Geometria foi retirada das grades curriculares das escolas por causa da valorização da Teoria dos Conjuntos e das linguagens simbólicas em detrimento da Geometria Euclidiana.

Na unidade 9, segundo uma visão construtivista, a Geometria das Transformações vem "possibilitando um lento retornar das figuras aos livros escolares e aplicações dinâmicas ao ensino de Geometria além de "jogos e artefatos modeladores de situações geométricas começaram a ser aplicados na escola" (KALEFF, p. 177, GRIFOS NOSSOS)

Dentre os artigos citados, as atividades didáticas desenvolvidas por meio da Geometria das Transformações "permitem levar alunos, da pré-escola à universidade, a vivenciar uma escalada de tarefas interdisciplinares envolvendo conceitos da Física, da Biologia e das Artes". No entanto, ainda são desconhecidos as aparências ligada à interdisciplinaridade das Geometrias com outras áreas do conhecimento.

_ No item (b), em sua opinião os livros didáticos ainda refletem alguma rejeição ao ensino da Geometria Euclidiana e ao uso de figuras?

Na escola em que leciono, os professores de matemática trabalham com a álgebra e a geometria ao mesmo tempo. No Médio, utilizamos o livro "Matemática - Volume Único" e no Fundamental, o livro "Tudo é Matemática". Ambos, do autor Luiz Roberto Dante e pelo que observei, não vejo nenhuma rejeição ao ensino da geometria das transformações e ao uso de de figuras. E mais, acredito que a postura do professor faça toda a diferença. Assim, aproveitando o momento, compartilho com os colegas um trecho de uma entrevista do professor Bigode ao Jornal do Brasil, reproduzida pelo site Matemática Hoje:

Nos anos 70, recebemos os primeiros livros da Matemática Moderna. Ela não era uma saída para o ensino tradicional?

Vamos pensar quem é o professor de matemática médio, hoje. Tem por volta de 37 anos, fez o primário no final dos anos 60, terminou o ensino médio nos anos 70 e foi, por isso, vítima de um tipo de padrão curricular marcado pelo movimento da Matemática Moderna, que chegou ao Brasil em 1961, foi bastante polêmica, hoje é moda criticá-la, embora tenha sido trazida por mãos sérias e com propósitos nobres. Mas o currículo estava impregnado mais das perspectivas dos matemáticos que dos educadores. Teve vantagens e desvantagens. A experiência da MM ampliou o fracasso escolar, porque carregou o currículo de conteúdos sem significado, deu ênfase na linguagem formal e no rigor. Uma das características da Matemática Moderna era pensar que, se déssemos os fundamentos da estrutura - conjunto, elementos, suas relações e suas propriedades - o aluno construiria o restante do edifício, como se fosse um algebrista puro da universidade. Mas a Matemática Moderna - e os puristas vão odiar isto - fez coisas boas. As expressões que tomavam o quadro todo, os chamados carroções desapareceram e isso foi bom. No entanto, a ideia que estava por trás do currículo da Matemática Moderna era a de servir para pescar alguns futuros matemáticos, e um currículo voltado para formar cientistas estava longe da matemática para todos que defendemos hoje. Só agora se tenta corrigir os desvios de então e assume-se que tratar do jeito que se tratavam tópicos como a teoria dos conjuntos no ensino fundamental é um tanto obsoleto.

Fonte de consulta: https://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/entrevistas/brasil.asp?aux=A

Referências Bibliográficas:

VALENTE, W. R. A investigação do passado da educação matemática. Investigación en Educación Matemática. Badajoz: Universidade de Badajoz, v. 12, p. 659-667, 2008.

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Com relação ao seu comentário sobre o MMM, compartilho com todos (271-868-1-PB.pdf) o artigo ABAIXO EUCLIDES E ACIMA QUEM? Uma análise do ensino de Geometria nas teses e dissertações sobre o Movimento da Matemática Moderna no Brasil que relata o ensino da geometria no Brasil. Primeiramente, uma pequena parte do documento em anexo sobre Jean Dieudonné, um dos líderes do grupo de matemáticos com o pseudônimo de Nicolas Bourbaki, presente na dissertação de Mestrado em Matemática da pesquisadora Flávia do Santos Soares sobre a situação do ensino da geometria no Brasil:

Segundo Soares, ao discutir o papel da geometria no MMM, ela alega que o novo enfoque dado à Matemática alterou o equilíbrio enciclopédico entre seus diversos campos e com isso, houve um certo desequilíbrio entre a atenção dada à álgebra e à geometria pois, frases mal interpretadas contra a geometria euclidiana, como "Abaixo Euclides!" de Jean Dieudonné, deixaram ainda mais crítica a situação do ensino da geometria no Brasil. Veja o depoimento de Vera Maria Rodrigues procura mostrar o sentido da frase proferida por Dieudonné, quando se referia ao ensino da geometria euclidiana: "Eu me lembro que teve uma frase, que ficou clássica, do Dieudonné, em que ele declarou "Abaixo à Euclides". E aí, [...] o Dieudonné esteve no Brasil, foi à Santa Úrsula, fez palestra e disse que o que ele quis dizer com essa frase, "Abaixo à Euclides", era abaixo à escravidão do modelo da geometria euclidiana. Os livros didáticos de nível médio eram os Elementos de Euclides. Nos países europeus isso até há um bom tempo era assim. Então o que ele quis dizer era abaixo aquele modelo. E ele era ligado ao grupo Bourbaki [...] e aí o que se entendeu era que não se ensinava mais geometria euclidiana, e aí foi um desastre muito grande (RODRIGUES, apud SOARES, 2001, p. 65)."

A pesquisadora comenta que mesmo antes da consolidação das ideias da Matemática Moderna no Brasil, certo descaso com relação à geometria já era notado e detectado como um problema, conforme constatado professor Omar Catunda na primeira Conferência Interamericana sobre Educação Matemática realizada na Colômbia em 1961: "Outro problema que no Brasil é profundamente distinto do que é na Europa, é o da geometria euclidiana [...] No Brasil, o problema é outro. Com a liberdade que têm os professores de dar apenas 75% do programa [...] se encontram com frequência estudantes que praticamente não aprendem nada de geometria. [...], a fórmula que reivindicaria para o Brasil não é Abaixo à Euclides!, senão ao menos Euclides! (CATUNDA, apud SOARES, 2001, p.66)".

PS! É válido dizer que tal material foi discutido na disciplina História da Matemática Através de Problemas

Referência Bibliográfica:

SOARES, F. S. Movimento da Matemática Moderna no Brasil: Avanço ou Retrocesso? Dissertação Mestrado em Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2001.

O artigo ABAIXO EUCLIDES E ACIMA QUEM? é muito interessante, principalmente as questões finais do texto, que nos levam a reflexão: "... qual o preparo dos professores em tratar com estruturas algébricas? E com teoria dos conjuntos? Por que a geometria caminha à margem do MMM?" uma vez que fica bem claro a importância do Momento da Matemática Moderna para o ensino da Geometria em virtudes de interpretações erradas! Quanto a teoria de conjuntos, veja mais um trecho da entrevista do professor Bigode ao Jornal do Brasil, reproduzida pelo site Matemática Hoje conforme postagem realizada segunda, 19 setembro 2011, 22:12:

Temos que acabar com a teoria dos conjuntos?

Não precisamos chegar a tanto, mas realmente não há nada de matemático em se pedir para uma criança enunciar o conjunto dos meses do ano que começam com a letra Z para ensinar o que é um conjunto vazio. A teoria dos conjuntos pode entrar no ensino médio, que já é mais formal. Mas para uma criança que chega cheia de vida numa quinta série, o professor falar em conjunto vazio, conjunto unitário...é uma bobagem. Isso as afasta das idéias fortes da matemática, que poderiam atraí-las.

Fonte de Consulta: https://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/entrevistas/brasil.asp?aux=A

Considerações Finais: Ana Kaleff

Primeiramente, é importante que vocês não se esqueçam que a Matemática se desenvolveu, tentando buscar respostas para o questionamento a respeito do Quinto Postulado de Euclides, isto é, de ser realmente um postulado ou um teorema. Isto se deu, principalmente, no período que compreende o estabelecimento da Geometria Euclidiana (Século IV A.C) até a descoberta das Geometrias não-Euclidianas(Século XIX D.C) .

Dessa forma, as Geometrias não-euclidianas são muito importantes para a Matemática, uma vez que com o desenvolvimento dessas teorias é possível estudar a negação de regras e a possível obtenção de novos sistemas axiomáticos.

Sob o ponto de vista da educação e do ensino, as novas e diferentes maneiras de se encarar um conjunto de regras e as formas geométricas nele envolvidas – como, por exemplo, as circunferências na Geometria de Riemann e as retas de medida finita no sistema de Klein (apresentadas na Unidade em estudo) – são muito importantes para o desenvolvimento do pensamento, uma vez que isso possibilita a abertura dos horizontes do aluno. Ou seja, com o estudo de diferentes conjuntos de regras e de diferentes formas geométricas para um mesmo elemento, podemos ajudar o aluno a pensar que os padrões geométricos da sua representação, por meio de um desenho, podem se modificar conforme o conjunto de regras que levamos em conta. Por exemplo, o desenho de uma "reta" pode não ser uma "linha retinha", pode ser uma curva e até uma circunferência!

Pensem em Hilbert e nas geometrias formais, no banimento das figuras da sala de aula e no seu retorno. Cada época teve uma maneira de encarar o ensino da matemática. Se, como professores, não nos informarmos e estudarmos sobre a nossa profissão, poderemos cair em procedimentos didáticos inadequados para o futuro.

Indo mais longe, acredito que podemos até vir a ajudar os alunos a encarar os fatos da vida de uma forma mais completa e de uma maneira mais abrangente e flexível, ou seja, podemos levá-los a perceber a possibilidade de haver mudanças aonde anteriormente se encontrava um padrão rígido a ser seguido.

Enfim, gostaria que este estudo fizesse com que vocês mesmos encarassem a profissão que possuem de uma maneira diferente. Para tanto, espero que aproveitem cada oportunidade de proceder, de uma forma diferente, em sala de aula para levar seus alunos a pensarem além dos assuntos estudados e dos pré-estabelecidos. Aproveitem a ocasião oportuna de estudar para ir além do que viram até agora e ousem propor mudanças que ajudem a nossa escola a se preparar para o futuro.